Olasılık ve İstatistik - Betimleyici İstatistik, Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

Betimleyici İstatistik

İnceleme sonucu ile elde edilen ham verilerin istatistiksel yöntemler(korelasyon, merkezi dağılım, tablolar,grafikler,merkezi eğilim) ile özetlenmesidir.

Seri : Ham verilerden oluşan kümedir.

İlkel seri: Küçükten büyüğe sıralanmış veri kümesidir.

Frekans Tabloları

Bir verinin ne kadar tekrar ettiğini göstermek amacıyla kullanılır ve az sayıdaki veriler için uygundur.

Sınıf Frekans Tabloları

Çok sayıda değer söz konusu ise kullanılır. Belli sınıflara ayırma yapılır.

Frekans Tablolarının Hazırlanması

Ham veriler sınıflandırılır.
Dağılım sınırları belirlenir. Min ve max değerler bulunur.
Dağılım genişliği veya açıklık belirlenir. DG=Max-Min
Sınıf sayısı belirlenir. K=1+3.3logN, N veri sayısıdır. Eşit veya yakın değerler sınıf olarak belirlenir. Sınıf aralığı © belirlenir. Art arda gelen iki sınıf için alt ve üst sınırların farkıdır. c=DG/k
Frekans(f) hesaplanır, bir sınıfta yer alan veri sayısıdır. //görsel
Göreli frekanslar(p) hesaplanır. Her sınıfa düşen yeri veri sayısının toplam veri sayısına göre yüzdesidir. pi=fi/N //görsel
Sınıf ortalama değeri m hesaplanır. Bir sınıfın alt ve üst değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.

Grafikler

Betimleyici grafik için kullanılan yöntemlerdir.

Ayrıca Kök-Yaprak grafiği, küçük ve orta ölçekli veri kümeleri için her bir veri kök ve yaprak olmak üzere iki kısım ayrılır. Sayısal veriler bir tabloda şekilsel olarak bir sütun olarak verilir. Örnek olarak 62 ve 67 sayısı için kök 6 ve yapraklar 2 ile 7’dir.

Merkezi Dağılım Ölçüleri

Gözlenen verinin düzenlenerek çizelgelerle, grafiklerle sunulması bazı durumlarda istenen ayrıntıları veremez. Bazı ölçüler gereklidir. Karşılaştırma, yorumlama ve genelleme yapma imkanı verir.

Aritmetik Ortalama

Gözlenen tüm değerler toplanır ve gözlem sayısız bölünür.

Yukarıda verilen X kümesinin N elemanı vardır. X'in 1. elemanı ile N'ci elemanına kadar tüm değerler toplanır ve elde edilen sonuç ise N eleman sayısına bölünür.

Aritmetik Ortalama Özellikleri

Her veri eşit öneme sahiptir.
Her verinin ortalamadan farkları toplamı sıfıra eşittir.
Her bir verinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamı minimum a herhangi bir değer olmak üzere aşağıdaki görselde anlatılmıştır.

2. Madde için formül:

3. Madde için formül:

Merkezi Ağırlıklı Ortalama

Her veri belirli bir oranda öneme sahiptir.

Yukarıda yer alan X kümesine ait her bir değer W kümesi içinde yer alan değerler ile çarpılır ve toplanır. Toplam sonucu ise W kümesinin toplam değerlerine bölünür. X kümesinin her bir değeri, ortalama sonucunda belli bir düzeyde yer almak için ağırlıklar dediğimiz W kümesinin elemanları ile çarpılmaktadır. Bir X değeri büyük bir W ile çarpılırsa ağırlıklı ortalamada o kadar büyüklükte etki etmektedir.

Geometrik Ortalama

Büyük veri fazla, küçük veri az etkili ve aritmetik ortalamaya göre daha etkilidir. Belirli süreçteki üretim/satış miktarı hesaplanmasında kullanılır.

Eğer verilerden biri 0 veya negatif ise logaritmik geometrik ortalama kullanılır. Ayrıca çok fazla veri ise kullanılır.

Harmonik Ortalama

Değişkenlerin biri sabit, diğerleri değişken yapıdadır. Veriler uyumsuzdur ve düzensiz ilişkileri vardır.

Yukarıdaki tabloda her bir X değeri 1 sayısını bölmektedir ve toplanmaktadır. Bu değerlerin toplamı ise toplam X sayısını bölmektedir.

Medyan(Ortanca)

Veriler sıralı ise, kümeyi tam ortadan bölen değerdir. Sıra uzunluğu değeri:

tek ise = (n+1)/2
çift ise (n/2+(n/2)+1)/2 = ortalama.

Veri kümesi büyük ise aritmetik ortalamaya göre daha iyidir ve yığın merkez eğilimi bulunur.

Mod(Tepe) Değeri

Bir küme içinde en çok tekrar eden frekans değeridir. Örnek olarak bir topluluk için yaşlara göre frekanslar belirlediniz. Bu topluluk içinde en çok 40 yaşında yer alan insanlar var ise bu topluluğun en çok tekrar eden frekansı, modu(tepe değeri) 40’tır.

Yukarıdaki tabloda ise en çok tekrar eden 47 sayısıdır ve bu ilgili kümenin modudur.

Merkez Dağılım Ölçüleri

Merkezi eğilim ölçülerini yorumlamak ve birden fazla veri seti için dağılımlar arası kıyaslama yapmak için kullanılır. Dağılım Genişliği(Değişim Genişliği), varyans ve standart sapma olarak üç alt başlığı vardır.

Dağılım Genişliği

Veri seti içindeki en büyük ve en küçük değerin birbirinden çıkarılmasıdır. DG=EB-EK

Varyans

Yığın ve örnek için her bir değeri, ortalama değerden çıkar ve karesini al.
Daha sonra sırası ile tüm değerler ile tekrar ederken yapılan işlem sonuçlarını topla.
Toplanan sonuçları ise değer sayısına böl.

Varyans(Cebirsel Özdeşlik)

Standart Sapma

Varyans değerinin pozitif kareköküne denir. Fiziksel olarak bir büyüklük ve verilerin birbirine olan uzaklığıdır.

Dağılım Ölçüleri

Bir testin aritmetik ortalaması, modu, medyanı, standart sapması belirlenir. Bu değerler üzerinden dağılım bulunur. Normal dağılım, çarpıklık, basıklık olmak üzere üç çeşidir vardır.

Normal Dağılım

Histogram, örnek ortancasından zirveye ulaşan ve bu noktanın her iki yanından çan biçimli simetrik bir tarzda dağılım türüdür.

Çarpıklık

Örnek ortancası(medyan) civarında yaklaşık simetrik olmayan bir veri kümesine denir.

Basıklık

Normal dağılım eğrisinin ne kadar dik ya da basık olduğunu gösterir.

Y4 > 0 ise sivri, Y4 = 0 ise noröal, Y4 < 0 ise basık demektir.

Dağılım Yorumlanması

Bir veri kümesi ortalamasına ve s’esahip yaklaşık normal dağılım sahip ise aşağıdaki bilgiler doğrudur.

Verilerin %68’i ortalama + s veya ortalama – s komşuluğunda
%95’i ortalama + 2s veya ortalama – 2s komşuluğunda
%99,7’si ortalama + 3s veya ortalama -3s komşuluğunda

yer aldığını gösterir.

Yüzde Birlikler

Veri sayısının toplam veri sayısına oranı olarak yüzde birlik denir. Örnek olarak 200 verinin içindeki 20 veriyi seçtiniz. Bu 20 veri ise (20/200)*100 =10 olmak üzere %10’luk yüzde birlik değerine sahiptir.

Kutu Grafiği

Kartillerin hesaplanma amacı, doğru yorumlamayı veri kümesi üzerinde yapmaktır.

Korelasyon

Sıklıkla birbiri ile bazı ilişkilere sahip değer çiftlerinden oluşan küme ile ilgilidir. Her biri eleman x ve y değerine sahip ise i.’nci veri noktası(xi,yi) çiftiyle temsil edilir. X ve Y değerleri x-y serpme diyagram grafiği ile gösterilir. İki veri türü arasındaki ilişki gösterilebilir. Büyük x’ler büyük veya küçük y’ler ile mi eşleşiyor sorusu önemlidir.

Korelasyon Katsayısı

Eşleştirilmiş iki veri seti arasındaki ilişkinin istatistiğidir. X ve Y’leri anlamak için her bir x değerini, x kümesi ortalaması ile çıkarmak; her bir y değerini, y kümesinin ortalaması ile çıkarmak ile gerçekleştirilirken ortaya çıkan bu iki değeri birbiri ile çarpmak ile yapılmaktadır. Örnek için r ve yığın için p ile gösterir.

|r| , x ve y ile doğrusal bir ilişki vardır.

|r| = 1 ise tam doğrusal
|r| = 0.3 ise zayıf doğrusal
r >0 ise büyük/küçük x’ler ile – büyük/küçük y’lere karşılık ise
r<0 ise büyük/küçük x’ler – küçük/büyük y’lere karşılık ise

-1<=1<=1 ise:

y=ax+b şeklinde bir doğru oluşturulmaya çalışılır.

Bu doğru veri çiftleri arasındaki ilişkiyi yaklaşık olarak tanımlar.